ワークデザイン04

0. 前回の復習

標準偏差の統計的な解釈:

  1. 値が大きいほど、数字の集まりがバラついている。
  2. 値が小さいほど、数字の集まりがバラついていない。
  3. すべての数字が同じ値のとき、0を示す。
  4. したがって、標準偏差の最小値は0となる。

品質管理への適用:

  • 同じ製品を生産する生産現場では、製品の長さや重さはバラついているとまずい。
  • 標準偏差を用いることで、どれくらいバラついているのか、客観的に示すことができる。


1. ガウス性・正規性

世の中には色々な数字であふれている。例えば、この教室内に60人くらいの人間がいるとすると、以下のような数字の集まりがある。

  • 60人分の身長
  • 60人分の体重
  • 60人分の財布に入っているお金
  • 60人分のスマホの重さ
  • …など

このような数字集まりにおいて、

  • 平均値に近い値が多そう。
  • 平均値から離れるごとに、その数値は少なくなりそう。

ということはなんとなく想像がつくと思う。この関係を確率的に定式化した性質として、ガウス性正規性ともいう)というものがある。ガウス性を前提とすると、以下の性質が得られる。

  • 「平均 – 1 × 標準偏差」〜「平均 + 1 × 標準偏差」の間に68.27%の確率でデータが発生
  • 「平均 – 2 × 標準偏差」〜「平均 + 2 × 標準偏差」の間に95.45%の確率でデータが発生
  • 「平均 – 3 × 標準偏差」〜「平均 + 3 × 標準偏差」の間に99.73%の確率でデータが発生



例題:
ちょっとわかりにくいので、具体例として考えてみる。

  • ある村に2000人の人間が住んでいる。
  • その村の平均寿命は60歳で、標準偏差は10歳であった。
  • 今、目の前に一人の人間がいる(20歳くらい)。
  • ガウス性を前提とすると、以下の確率はどうなるか?
    • この人間が50歳〜70歳で亡くなる確率
    • この人間が40歳〜80歳で亡くなる確率
    • この人間が30歳〜90歳で亡くなる確率
    • 選択肢: (A)32.78%, (B)59.39%, (C)68.27%, (D)95.45%, (E)99.73%

ここでわかるように、平均値と標準偏差が明らかであれば、ガウス性という前提に従うことで、確率(可能性)が求められる。あらゆる事象がガウス性に従うわけではないので注意が必要だが、多くの自然現象がガウス性に近似されることが知られている。

慣れてくると、平均と標準偏差を見た瞬間に「7割くらいの確率でxxxになりそうだな」というのが頭をよぎるようになる。もうちょっと踏み込んでいうと、製品の品質を管理したい人が、平均と標準偏差を計算するだけで「99%の確率でこの範囲の製品しか出てこない」みたいなことがわかるので、ガウス性を前提とした解釈は、それなりに利点がある。


2. 今日の問題

以下のコードは、7つの製品の長さに対して、その平均値と標準偏差を求め、「平均 – 1 × 標準偏差」〜「平均 + 1 × 標準偏差」の値を算出するコードである。

Private Sub CommandButton1_Click()

    Dim A(7) As Double
    Dim Dif(7) As Double
    Dim Dif2(7) As Double
    
    
    For i = 1 To 7
        A(i) = Cells(i + 1, 2)
    Next i
    
    s = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) + A(5) + A(6) + A(7)
    s = s / 7
    
    Cells(9, 2) = s ' <- 平均値
    
    
    For i = 1 To 7
        Dif(i) = s - A(i)
        Cells(i + 1, 3) = Dif(i)
    Next i
    

    For i = 1 To 7
        Dif2(i) = Dif(i) * Dif(i)
        Cells(i + 1, 4) = Dif2(i)
    Next i
    
    
    d = Dif2(1) + Dif2(2) + Dif2(3) + Dif2(4) + Dif2(5) + Dif2(6) + Dif2(7)
    d = d / 7
    Cells(11, 3) = d
    
    st = Sqr(d)
    Cells(12, 3) = st ' <- 標準偏差

    '平均-標準偏差 ~ 平均+標準偏差の書き込み
    Cells(3, 7) = s - 1 * st
    Cells(3, 8) = s + 1 * st
    
End Sub
  1. 「平均 - 2 × 標準偏差」〜「平均 + 2 × 標準偏差」を記述するコードを記載せよ(紙に書くのは、該当箇所のコードのみで良い)。
  2. 「平均 - 3 × 標準偏差」〜「平均 + 3 × 標準偏差」を記述するコードを記載せよ(紙に書くのは、該当箇所のコードのみで良い)。
  3. 適当に7個の製品の長さの数字を入れて、平均、標準偏差、「平均 - 2 × 標準偏差」〜「平均 + 2 × 標準偏差」、「平均 - 3 × 標準偏差」〜「平均 + 3 × 標準偏差」の出力を確認せよ。


3. 応用問題

「平均 - 1 × 標準偏差」〜「平均 + 1 × 標準偏差」の間に68.27%の確率でデータが発生するという性質は、如何にして算出できるか。その計算過程をすべて書き、説明せよ。

この問題はちょっと難しいので、将来、統計でばりばりやりたい人だけ取り組んでください。もしできた人は、いつでもいいので、30号館509室(大前の研究室)にきて、ホワイトボードで書きながら説明してください。完全に理解している場合、間違ってるけど頑張ってそうな場合は何点か加点します。